独立変数と従属変数

独立変数（どくりつへんすう、英語: independent variable）によって説明される変数を従属変数（じゅうぞくへんすう、英語: dependent variable）と言う。従属変数は、何らかの法則や規則（数学関数など）によって他の変数の値に依存するという仮定や前提のもとで用いられる。一方、独立変数は、対象となる研究等の範囲内では他の変数から独立していると見做す。このとき、一般的な独立変数として時間、空間、密度、質量、流体の流量、および将来の値（従属変数）を予測するために使用される、ある観測対象の過去の値（例：人口）などが挙げられる。

この二つのうち、常に変化が研究対象となるのは従属変数であり、統計学では説明変数とも呼ばれる入力を変更することでその変化が調べられる。実験において、他の変数を用いずに値を割り当てることができる変数は、独立変数と呼ばれる。モデルや実験は、独立変数が従属変数に与える影響を検証する。その影響が直接的な関心の対象でない場合でも、独立変数が潜在的な交絡効果を考慮するためなどの理由で含まれることがある。

純粋数学において

数学において、関数とは入力（数または数の集合等）を受け、出力（数または数の集合等）を出す規則である。任意の入力を表す符号は独立変数と呼ばれ、任意の出力を表す符号は従属変数と呼ばれる。入力の最も一般的な記号はxであり、出力の最も一般的な記号はyである。関数は通常、y = f(x)と表される。

独立変数や従属変数を複数持つことも可能である。例えば、多変数微積分では、z = f(x,y)の形をした関数にしばしば出会う。ここで、zは従属変数であり、xとyは独立変数である。複数の出力を持つ関数は、しばしばベクトル値函数と呼ばれる。

モデル化と統計学において

数理モデルでは、従属変数の集合と独立変数の集合との関係が研究される。

一般線形モデルy_i = a bx_i e_iにおいて、y_iは従属変数のi番目の値であり、x_iは独立変数のi番目の値である。e_iの項は「誤差」であり、独立変数に依らない従属変数の変動を含む。

複数の独立変数がある場合にモデルはy_i = a bx_i,1 bx_i,2 ... bx_i,n e_i, となる。ここでnは独立変数の個数を表す。

統計学、特に線形回帰において、データの散布図が生成され、Xが独立変数、Yが従属変数として表される。これは二変量データとも呼ばれ、(x₁, y₁)(x₂, y₂) ...(x_i, y_i)の形を取る。この一般線形モデルは、Y_i = a Bx_i U_iの形を取り、i = 1, 2, ... , nとなる。この場合、U_i, ... ,U_nは離散型確率変数である。これは、測定値が互いに影響を与えない場合に発生する。独立性の伝播により、U_iの独立性はY_iの独立性を意味するが、各Y_iには異なる期待値がある。各U_iは期待値が0で、分散がσ²である。

$E[Y_{i}]=E[\alpha \beta x_{i} U_{i}]=\alpha \beta x_{i} E[U_{i}]=\alpha \beta x_{i}.$

二変量データのあてはめはy = α βxの形を取り、線形単回帰と呼ばれる。αとβはそれぞれ切片と傾きに対応する。

実験において実験者によって操作される変数は、その働きが証明されている独立変数と言う。従属変数は、独立変数が操作されるときに変化が期待される事象である。

多変量解析や機械学習用のデータマイニングツールでは、従属変数は目的変数（ラベル属性とも）、独立変数は単に変数または特徴量と呼ばれる。目的関数の既知の値は、学習データセットおよびテストデータセットに用いられるが、他のデータについては予測が必要となる。目的関数は教師あり学習で使用され、教師なし学習では使用しない。